Movimento curvilíneo
Suponhamos que o movimento tem lugar no plano XY, situamos uma origem, os eixos x e y traçamos a trajetória do móvel, ou seja, marcamos o conjunto de pontos pelos quais passa o móvel. As grandezas que descrevem um movimento curvilíneo são:
Vetor posição r no instante t.
Como a posição do móvel varia com o tempo. No instante t, o móvel se encontra no ponto P, ou em outras palavras, seu vetor posição é r e no instante t' se encontra no ponto P', sua posição é dada pelo vetor r'.
Diremos que o móvel se deslocou Dr=r’-r no intervalo de tempo Dt=t'-t. Este vetor tem a direção da secante que une os pontos P e P'.
Vetor velocidade
O vetor velocidade média, é definido como o cociente entre o vetor deslocamento Dr e o tempo que foi empregado para deslocar-se Dt.
O vetor velocidade média tem a mesma direção que o vetor deslocamento, a secante que une os pontos P e P1 quando é calculada a velocidade média entre os instantes t e t1.
O vetor velocidade num instante, é o limite do vetor velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
Como podemos ver na figura, a medida que fazemos tender o intervalo de tempo a zero, a direção do vetor velocidade média, a reta secante que une sucessivamente os pontos P, com os pontos P1, P2....., tende para a tangente a trajetória no ponto P.
No instante t, o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto.
Vetor aceleração
No instante t o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto.
No instante t' o móvel se encontra no ponto P' e tem uma velocidade v'.
O móvel variou, em geral, sua velocidade tanto em módulo como em direção, uma quantidade dada pelo vetor diferença Dv=v’-v.
Definimos a aceleração média como o cociente entre o vetor variação de velocidade Dv e o intervalo de tempo Dt=t'-t, gasto nesta variação.
A aceleração a em um instante
Resumindo, as equações do movimento curvilíneo no plano XY são
A primeira fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo X, a segunda fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo Y, e o mesmo podemos dizer a respeito do eixo Z.
Por tanto, podemos considerar um movimento curvilíneo como a composição de movimentos retilíneos ao longo dos eixos coordenados.
Exemplo 1:
Um automóvel descreve uma curva plana tal que as coordenadas retangulares, em função do tempo são dadas pelas expressões: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:
As componentes da velocidade em qualquer instante.
vx=6t2-6t m/s
vy=2t-2 m/s
As componentes da aceleração em qualquer instante.
ax=12t m/s2
ay=2 m/s2
Exemplo 2:
Um ponto se move no plano de tal forma que as componentes retangulares da velocidade em função do tempo são dadas pelas expressões: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Se no instante inicial t0=0 s, o móvel se encontrava na posição x0=1, y0=2 m. Calcular:
As componentes da aceleração em qualquer instante
· As coordenadas x e y, do móvel, em função do tempo.
Dada a velocidade vx=4t3+4t do móvel, o deslocamento x-1 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral
x=t4+2t2+1 m
Dada a velocidade vy=4t do móvel, o deslocamento y-2 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral
y=2t2+2 m
Exemplo 3:
Lançamos uma bola verticalmente para cima com uma velocidade de 20 m/s desde o teto de um edifício de 50 m de altura. A bola é empurrada pelo vento que sopra para direita, produzindo um movimento horizontal com uma aceleração de 2 m/s2. Calcular:
A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o de impacto
A altura máxima
Os instantes e os valores das componentes da velocidade quando a bola se encontra a 60 m de altura sobre o solo.
Primeiro, estabelecemos a origem no ponto de lançamento e os eixos X e Y apontando para direita e para cima respectivamente.
Determinamos os sinais das velocidades iniciais v0x=0 e v0y=20 e da aceleração ay=-10.
Escrevemos as equações do movimento
Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo X
ax=2
vx=2t
x=2t2/2
Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo Y (movimento de queda dos corpos)
ay=-10
vy=20+(-10)t
y=20t+(-10)t2/2
O ponto de impacto tem coordenadas x desconhecida e y=-50 m. Dado y obtemos o valor de t e logo o valor de x.
y=-50 m
t=1.74 s
x=3.03 m
A altura máxima é obtida quando a velocidade vertical é zero
vy=0 m/s
t=2 s
y=20 m
A altura desde o solo é 20+50=70 m.
O móvel se encontra em dois instantes a 60 m de altura sobre o solo (10 sobre origem), já que sua trajetória corta em dois pontos a reta horizontal y=10 m.A equação de segundo grau tem duas raízes
10=20t+(-10)t2/2
t1=0.59 s e t2=3.41 s.
