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Turma de Matemática 2010 - UFPA participa do II Seminário do PARFOR

A convite do coordenador do Campus Universitário de Capanema, Prof. Dr. Álvaro Lobo Filho, a nossa turma de Matemática foi convidada a participar do II Seminário do PARFOR, realizado no dia 23 de janeiro de 2011, na arena Carlos Gomes. Embora o evento tinha como tema "A importância do Campus de Capanema/PARFOR na formação de professores no Nordeste do Pará", também se discutiu a questão da estrutura do Campus, e foi aí que o convite foi bem aceito, uma vez que, como o magnífico reitor Prof. Dr. Carlos Maneschy estava presente, e teve o momento para se fazer perguntas, então nossa turma assim o fez. Perguntamos acerca da estrutura do Campus II, onde atualmente, na modalidade intensiva, têm apenas duas turmas, a nossa de Matemática e uma de Biologia do PARFOR. As condições de estudo no local não são boas, haja visto que falta água potável, dentre outras coisas essenciais para qualquer ambiente. Fizemos, também, uma pergunta sobre um possível curso de Pós-Graduação como, por exemplo, um mestrado, pois se percebe que a cada ano que se passa é formada mais uma turma de Matemática através de vestibular. Para nossa surpresa, todas as perguntas que foram feitas por nossa turma, nenhuma foi respondida. Mas não é por este motivo que vamos desanimar, pois já estamos com dois anos nesta luta e vamos até o fim.

Esperamos, obviamente, melhorias para o Campus, pois mesmo que concluimos nosso curso, outras turmas permanecerão no local.

Enfim, o evento foi bom, teve este pequeno problema em relação às nossas perguntas, no mais, exceto a chuva, as coisas ocorrerão normalmente.

Cinemática através de derivadas

Movimento curvilíneo

Suponhamos que o movimento tem lugar no plano XY, situamos uma origem, os eixos x e y traçamos a trajetória do móvel, ou seja, marcamos o conjunto de pontos pelos quais passa o móvel. As grandezas que descrevem um movimento curvilíneo são:

Vetor posição r no instante t.

Como a posição do móvel varia com o tempo. No instante t, o móvel se encontra no ponto P, ou em outras palavras, seu vetor posição é r e no instante t' se encontra no ponto P', sua posição é dada pelo vetor r'.

Diremos que o móvel se deslocou Dr=r’-r no intervalo de tempo Dt=t'-t. Este vetor tem a direção da secante que une os pontos P e P'.

Vetor velocidade

O vetor velocidade média, é definido como o cociente entre o vetor deslocamento Dr e o tempo que foi empregado para deslocar-se Dt.

O vetor velocidade média tem a mesma direção que o vetor deslocamento, a secante que une os pontos P e P1 quando é calculada a velocidade média entre os instantes t e t1.

O vetor velocidade num instante, é o limite do vetor velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.

Como podemos ver na figura, a medida que fazemos tender o intervalo de tempo a zero, a direção do vetor velocidade média, a reta secante que une sucessivamente os pontos P, com os pontos P1, P2....., tende para a tangente a trajetória no ponto P.

No instante t, o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto.

Vetor aceleração

No instante t o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto.

No instante t' o móvel se encontra no ponto P' e tem uma velocidade v'.

O móvel variou, em geral, sua velocidade tanto em módulo como em direção, uma quantidade dada pelo vetor diferença Dv=v’-v.

Definimos a aceleração média como o cociente entre o vetor variação de velocidade Dv e o intervalo de tempo Dt=t'-t, gasto nesta variação.

A aceleração a em um instante

Resumindo, as equações do movimento curvilíneo no plano XY são

A primeira fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo X, a segunda fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo Y, e o mesmo podemos dizer a respeito do eixo Z.

Por tanto, podemos considerar um movimento curvilíneo como a composição de movimentos retilíneos ao longo dos eixos coordenados.

Exemplo 1:

Um automóvel descreve uma curva plana tal que as coordenadas retangulares, em função do tempo são dadas pelas expressões: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:

As componentes da velocidade em qualquer instante.

vx=6t2-6t m/s

vy=2t-2 m/s

As componentes da aceleração em qualquer instante.

ax=12t m/s2

ay=2 m/s2

Exemplo 2:

Um ponto se move no plano de tal forma que as componentes retangulares da velocidade em função do tempo são dadas pelas expressões: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Se no instante inicial t0=0 s, o móvel se encontrava na posição x0=1, y0=2 m. Calcular:

As componentes da aceleração em qualquer instante

· As coordenadas x e y, do móvel, em função do tempo.

Dada a velocidade vx=4t3+4t do móvel, o deslocamento x-1 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral

x=t4+2t2+1 m

Dada a velocidade vy=4t do móvel, o deslocamento y-2 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral

y=2t2+2 m

Exemplo 3:

Lançamos uma bola verticalmente para cima com uma velocidade de 20 m/s desde o teto de um edifício de 50 m de altura. A bola é empurrada pelo vento que sopra para direita, produzindo um movimento horizontal com uma aceleração de 2 m/s2. Calcular:

A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o de impacto

A altura máxima

Os instantes e os valores das componentes da velocidade quando a bola se encontra a 60 m de altura sobre o solo.

Primeiro, estabelecemos a origem no ponto de lançamento e os eixos X e Y apontando para direita e para cima respectivamente.

Determinamos os sinais das velocidades iniciais v0x=0 e v0y=20 e da aceleração ay=-10.

Escrevemos as equações do movimento

Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo X

ax=2

vx=2t

x=2t2/2

Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo Y (movimento de queda dos corpos)

ay=-10

vy=20+(-10)t

y=20t+(-10)t2/2

O ponto de impacto tem coordenadas x desconhecida e y=-50 m. Dado y obtemos o valor de t e logo o valor de x.

y=-50 m

t=1.74 s

x=3.03 m

A altura máxima é obtida quando a velocidade vertical é zero

vy=0 m/s

t=2 s

y=20 m

A altura desde o solo é 20+50=70 m.

O móvel se encontra em dois instantes a 60 m de altura sobre o solo (10 sobre origem), já que sua trajetória corta em dois pontos a reta horizontal y=10 m.A equação de segundo grau tem duas raízes

10=20t+(-10)t2/2

t1=0.59 s e t2=3.41 s.

Fonte: http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm

Um pouco de prática

Os alunos Mauro Cabral, Antônio Hélder, Sandro Marcelo e Artur Fernandes discutindo sobre o assunto de vetores.

Fotos: Williames Vieira

Listão da UFPA será divulgado nesta sexta-feira

O Centro de Processo Seletivos (CEPS) da Universidade Federal do Pará (UFPA) anuncia nesta sexta-feira, 21, a lista de aprovados no Processo Seletivo 2011 (PS2011). A divulgação ocorrerá a partir das 11horas, no auditório da Secretaria Geral (Sege), localizado no 3º andar do prédio da Reitoria, no campus do Guamá, em Belém.



O reitor Carlos Maneschy e representantes do Ceps e da Comissão Permanente de Processos Seletivos (Coperps) farão uma avaliação do PS 2011, em entrevista coletiva, marcada para as 10h30, também na Sege.



É importante informar que, de acordo com o Ceps, a relação de aprovados será liberada, primeiramente, para as rádios, tal como em anos anteriores. Posteriormente, cerca de meia hora depois, o documento será disponibilizado no Portal da UFPA, na página do Centro.



Tranquilidade - O PS 2011 trouxe algumas diferenças em relação aos concursos anteriores, como a adesão ao Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) somado a uma única prova, objetiva, aplicada pela Universidade no último dia 19 de dezembro.



De acordo com o CEPS, o Processo Seletivo 2011 foi um dos mais tranquilos já realizados pela Instituição, e o resultado sairá em tempo hábil, como previsto pela Universidade.



No total, 54.096 candidatos se inscreveram para concorrer a mais de 6.000 vagas, distribuídas em 146 cursos, nos campi da instituição (Belém, Castanhal, Cametá, Altamira, Breves, Abaetetuba, Bragança, Capanema, Marabá, Soure e Tucuruí).



O PS 2011 teve 3.649 candidatos a mais que o do Processo Seletivo Seriado 2010, o qual contabilizou 50.447 inscritos.

Texto: Dilermando Gadelha – Assessoria de Comunicação da UFPA.

Foto: Alexandre Moraes

Disciplinas Curso Matemática Jan/Fev 2011

DISCIPLINAS CURSO MATEMÁTICA/2010
2º MÓDULO

DISCIPLINA
CH
PROFESSOR(A)
PERÍODO

GEOMETRIA ANALÍTICA

60
Prof. Fabio
03 a 11/01/2011

ESTATÍSTICA

60
Prof. Arthur Mac
17/01 a 25/01

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B

90
Prof. Arthur
26/01 a 08/02/2011

DESENHO GEOMÉTRICO
90
Prof. Nildsen
09 a 21/02/2011

FUNDAM. DE MAT. ELEMENTAR II (REOFERTA)
90
Prof. Edilberto
22/02 a 07/03/2011